最新消息:点击查看大S的省钱秘笈

不相交集合 - 并查集

编程相关 Slyar 220浏览 0评论

文章作者:姜南(Slyar) 文章来源:Slyar Home (www.slyar.com) 转载请注明,谢谢合作。

恩,前两周学习了并查集,是时候总结一下了。

等价关系与等价类

从数学上看,等价类是一个对象(或成员)的集合,在此集合中的所有对象应满足等价关系。若用符号"≡"表示集合上的等价关系,那么对于该集合中的任意对象x,y, z,下列性质成立:

1、自反性:x ≡ x

2、对称性:若 x ≡ y 则 y ≡ x

3、传递性:若 x ≡ y 且 y ≡ z 则 x ≡ z

因此,等价关系是集合上的一个自反、对称、传递的关系。

等价关系

通过金属线连接起来的电器的连通性,就是一种等价关系。这种关系显然具有自反性,因为任何一个器件都是与自身连通的;如果a 电连通b,那么b一定也电连通a,因此这种关系具有对称性; 若a连通到b,并且b连通到c,那么a连通到c 。

并查集

并查集的一般用途就是用来维护某种具有自反、对称、传递性质的关系的等价类。并查集一般以树形结构存储,多棵树构成一个森林,每棵树构成一个集合,树中的每个节点就是该集合的元素,找一个代表元素作为该树(集合)的祖先。

并查集支持以下三种操作:

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身,每一个元素的祖先节点也是它本身。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合,只要找到这个元素所在集合的祖先即可。判断两个元素是否属于同一集合,只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单:首先设置一个数组Father[x],表示x的"父亲"的编号。那么,合并两个不相交集合的方法就是,找到其中一个集合的祖先,将另外一个集合的祖先指向它。

合并

并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找,但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时,每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度,有没有办法减小这个复杂度呢?

答案是肯定的,这就是路径压缩,即当我们经过"递推"找到祖先节点后,"回归"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了。

路径压缩

2、Union(x,y)时 按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。

主要代码实现

相关题目

并查集的基础应用:

POJ 1611 The Suspects C语言版

POJ 2524 Ubiquitous Religions C语言版

POJ 1182 食物链 C语言版

最小生成树Kruskal算法并查集应用:

POJ 1258 Agri-Net C语言版 Kruskal

POJ 1251 Jungle Roads C++版 Kruskal

POJ 1861 Network C语言版 Kruskal

转载请注明:Slyar Home » 不相交集合 - 并查集

发表我的评论
取消评论

表情

Hi,您需要填写昵称和邮箱!

  • 昵称 (必填)
  • 邮箱 (必填)
  • 网址

网友最新评论 (10)

  1. 秩到底是什么意思啊,如果是层数的话路径压缩是应该改变啊,如果是子树元素个数,合并时应该改变啊
    草原狼4年前 (2013-03-17)回复
    • 请看并查集的优化的第二点: 2、Union(x,y)时 按秩合并 即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。
      FF4年前 (2013-04-05)回复
    • 树的高度
      FF4年前 (2013-04-05)回复
      • 迷茫!!既然是树的高度那怎么说是元素少的集合合并到元素多的集合,元素少高度就一定矮吗?
        草原狼4年前 (2013-04-05)回复
  2. 很强大
    匿名6年前 (2010-08-19)回复
  3. 很感谢你的文章,今天在做食物链时就是不懂并查集悲剧了。 文章很好,受益颇多。交个朋友。
    Tanky Woo7年前 (2010-06-09)回复
  4. 谢谢哥们的资料,有A掉一道,又学了一招!哈哈。。。
    crazy_coder7年前 (2009-07-20)回复
  5. @112358, 这个问题可以自己考虑,我一般给Union()的参数就是提前Find_Set()过的;当然如果给Union()直接就是元素,那么就要像你说的一样。 恩,也好,按你说的那样改一下。
    Slyar8年前 (2009-06-26)回复
  6. 是不是在Union()里面得加上 x = Find_Set(x); y = Find_Set(y);
    1123588年前 (2009-06-26)回复
  7. 黄金广告位出租。
    午夜8年前 (2009-06-15)回复